Sapere Scienza

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Il linguaggio dell'algebra

29 Dicembre 2014 di 

Ho sentito uno studente liceale dichiarare che fa una grande fatica con i simboli dell’algebra, che gli sembra tutto così arzigogolato, astruso: perché non scrivere le cose in lingua? Se Giovanni ha il doppio dell’età di Giacomo, perché dire che l’età di Giacomo è x e dunque scrivere 2x e non “il doppio dell’età di Giacomo”? Tutto sarebbe più semplice...

 

Dall' "algebra retorica" all' "algebra sincopata", a quella "simbolica"

Lo studente non sa che una volta si faceva davvero così: nell’antichità tutto era detto in parole! Solo nel XV secolo si è avuto il passaggio dall’algebra retorica (nella quale i procedimenti algebrici vengono espressi mediante l’uso di parole) all’algebra sincopata (nella quale alcuni termini vengono sistematicamente indicati mediante abbreviazioni). Questa divisione è quella proposta da uno storico dell’algebra, Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann (1811-1881) verso la metà del XIX secolo. Ma ancora non siamo ai simboli, x, y, 2ax2, che si usano oggi. La terza fase di questo sviluppo viene di solito individuata nell’algebra simbolica iniziata da François Viète (1540-1603) e da René Descartes (1596-1650, in foto), in pieno Rinascimento. Tale sequenza di tre fasi, secondo Nesselmann, consiste in una progressiva eliminazione delle componenti verbali nell’espressione dei procedimenti algebrici, rendendo così algoritmico il linguaggio algebrico e non solo discorsivo - più pratico, snello, fluido, dunque.

 

L'algebra di una volta

Già, ma come facevano prima? Ecco alcuni esempi di espressioni proprie dell’algebra retorica, tratti da lavori di aritmetica medievali e rinascimentali, confrontati con le corrispondenti espressioni simboliche moderne (quelle denunciate dallo studente iniziale). Alcune avvertenze preliminari: cose sta per un monomio lineare in x (del tipo ax), censi sta per un monomio dove x appare al quadrato (del tipo ax2), eccetera. E quindi si avrà che:

 

  • cose uguale a numero                                   ax = b
  • censi e cose uguale a numero                     ax2 + bx = c
  • censi uguale a numero                                  ax2 = b
  • censi uguale a cose                                        ax2 = bx
  • censi e numero uguale a cose                     ax2 + c = bx
  • censi uguale a cose e numero                     ax2 = bx + c
  • cubo e cose uguale a numero                     x3 + bx = c
  • cubo uguale a cose e numero                     x3 = bx + c
  • cubo e numero uguale a cose                     x3 + c = bx

 

Nell’algebra sincopata, utilizzata per esempio da Luca Pacioli (1445-1517), l’insegnante di matematica dell’ormai adulto Leonardo da Vinci (1452-1519) (che mai apprese l’algebra) le quantità e le operazioni erano indicate da simboli atti ad abbreviare le parole della lingua corrente. Per esempio, la scrittura sincopata:

 

Trouame 1.n°. che gioto al suo qdrat° facia .12

 

rappresenta l’equazione modernamente indicata con x + x2 = 12

 

Anche Girolamo Cardano (1501-1576), algebrista di grande fama noto anche per il giunto cardanico, usava una notazione algebrica sincopata, della quale do un esempio:

 

Qdratu aeqtur 4 rebus p: 32

 

che rappresentava l’equazione modernamente scritta con x2 = 4x + 32

 

Nell’algebra simbolica (introdotta un secolo dopo la pubblicazione delle opere di Pacioli) tutte le operazioni e tutte le quantità saranno espresse con una simbologia specifica e la possibilità di parametrizzare i problemi trattati renderà possibili molte importanti generalizzazioni. Dunque, per 5 millenni e mezzo l’essere umano ha usato l’algebra retorica, scritta a parole, quasi del tutto senza simboli, se vogliamo ignorare i pochi simboli apparsi nelle epoche antiche e l’esperienza (che però non ebbe proseliti) di Diofanto (a cavallo fra il III e il IV secolo); poi, da circa mezzo secolo, ha contratto i termini per rendere più agili le scritture e da questo sono nate le notazioni simboliche che oggi dominano la matematica.

Certo, senza il simbolismo moderno la matematica oggi sarebbe fiacca e inefficace ma non dimentichiamo che sono state costruite piramidi, ziqqurat, strade, ponti, calendari, tunnel, monumenti incredibili, sono state decise rotte in mare... senza simbolismi particolari, il che decreta il trionfo sociale della matematica in sé, simbolica o meno. Ma davvero il nostro studente ritiene che sia più facile operare con formule espresse nel linguaggio comune invece che nel linguaggio algebrico? Sarebbe davvero interessante fare una prova in aula...

 

Bibliografia

Bottazzini U., Freguglia P., Toti Rigatelli L. (1992), Fonti per la storia della matematica. Firenze: Sansoni

Boyer C.B. (1982). Storia della matematica. Milano: Mondadori

D’Amore B., Matteuzzi M. (1975). Dal numero alla struttura. Bologna: Zanichelli

D’Amore B., Matteuzzi M. (1976). Gli interessi matematici. Venezia: Marsilio

Franci R., Toti Rigatelli L. (1979). Storia della teoria delle equazioni algebriche. Milano: Mursia

Kline M. (1991). Storia del pensiero matematico, I-II. Torino: Einaudi. (I ed. USA, 1972: Mathematical thought from ancient to modern times. New York: Oxford University Press)

Nesselmann G.H.F. (1842). Versuch einer kritischen Geschichte der Algebra, Nach den Quellen bearbeitet. Berlin: Reimer

Bruno D’Amore

Laureato in matematica, in filosofia e in pedagogia, PhD in Mathematics Education, PhD honoris causa in Social Sciences and Education, critico d'arte, attivo come docente e direttore di tesi presso il dottorato in Educación Matemática presso l'Università Distrital "Francisco José de Caldas" di Bogotà.

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