Sapere Scienza

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Salvador Dalì e la geometria a quattro dimensioni

18 Febbraio 2015 di 

Nell'opera Crocifissione, corpo ipercubico del 1954 di Salvador Dalì, appare una croce di grande suggestione matematica, composta di cubi, assolutamente corretta sul piano epistemologico. Chi la osserva, di solito, non si rende conto della sapienza matematica nascosta in questo dipinto.

Mi pare il caso di esaminare i dettagli matematici di questa creazione, anche per testimoniare la competenza matematica del geniale pittore catalano.

 

Uno spazio a quattro dimensioni

Cominciamo con l’osservare mentalmente un cubo, che è un oggetto matematico tridimensionale (3D). Le sue sei facce (bordi del cubo) sono quadrati, oggetti matematici a due dimensioni (2D).

Se proiettiamo il cubo perpendicolarmente su uno dei piani che passano per una delle sue facce, otteniamo un quadrato. I suoi quattro lati (bordi del quadrato) sono segmenti, oggetti matematici a una dimensione (1D).

Se proiettiamo il quadrato perpendicolarmente su una delle rette che passano per uno dei suoi lati, troviamo un segmento. I suoi due vertici (bordi del segmento) sono punti, oggetti matematici a zero dimensione (0D).

Se proiettiamo il segmento su uno dei suoi vertici, otterremo un punto. Dunque il punto si può pensare come una rappresentazione del cubo 3D in uno spazio 0D, il segmento come una rappresentazione del cubo in uno spazio 1D, il quadrato in uno spazio 2D.

Ma chi ci impedisce di andare alla rovescia, cioè crescere di dimensione invece che scendere? Così come il quadrato è la rappresentazione di un cubo in 2D, il cubo si può pensare come la proiezione in 3D di un ipercubo in uno spazio 4D.

 

Compiamo un altro passo.

Se vogliamo passare dal quadrato 2D al cubo 3D, possiamo operare come segue: disegniamo il quadrato e in corrispondenza di ogni suo bordo (che è un lato) disegniamo un quadrato uguale (e siamo a 5 quadrati tutti uguali); poi disegniamo su un bordo esterno (che è un lato di un quadrato aggiunto) un altro quadrato uguale, e siamo così a sei quadrati uguali disposti come segue.

 

Cinque quadrati disposti attorno a uno dato, tutti uguali tra loro. Ora la figura si può richiudere, com’è facilmente comprensibile a chiunque, per ottenere il cubo di partenza. Lo stesso procedimento si può ottenere a partire dal segmento (1D) per ottenere un quadrato che lo abbia come lato. Disegniamo il segmento, ai suoi bordi (che sono due) si disegnano ciascuno un segmento uguale; al bordo esterno dei segmenti aggiunti si disegni un nuovo segmento uguale.

Ora è facile ripiegare la figura per riavere il quadrato di partenza.

Lo stesso è possibile partendo dal punto (0D); ai suoi bordi si dovrebbero applicare dei punti, ma il punto, avendo dimensione zero, non ha bordi; allora ci limitiamo a immaginare un altro punto oltre a quello di partenza. Abbiamo dunque 2 punti che costituiscono un segmento.

 

La croce e l'ipercubo

La formula che sta nascendo è dunque costituita come segue:

 

l’oggetto matematico di partenza (1) + tanti oggetti uguali quanti sono i bordi + un ulteriore oggetto identico a quello di partenza;

nel caso del punto: 1+0+1=2 (risultato: segmento, composto da 2 punti)

nel caso del segmento: 1+2+1=4 (risultato: quadrato, composto da 4 lati - segmenti)

nel caso del quadrato: 1+4+1=6 (risultato: cubo, composto da 6 facce - quadrati).

 

Se vogliamo ora passare al caso 4D, cioè all'ipercubo, possiamo ipotizzare per analogia una situazione aritmetica di questo tipo: 1+6+1,

ossia: il cubo di partenza + 6 cubi identici attaccati alle 6 facce del cubo + 1 cubo attaccato ad una faccia di un cubo esterno.

L'ipercubo, dunque, avrebbe 8 cubi come come "facce" e questa immagine rappresenterebbe un ipercubo quadridimensionale (4D) "aperto" in 3D (così come i 6 quadrati di prima rappresentavano in 2D il cubo in modo che, ripiegandoli, si potesse ottenere il cubo di partenza).  

A essere rigorosi, siccome il foglio sul quale stiamo rappresentando è bidimensionale, quella che vediamo qui non è però altro che... la rappresentazione in 2D della dispiegatura in 3D dell’ipercubo 4D. 

 

Se ora si torna ad ammirare l’opera Crocefissione, corpo ipercubico di Salvador Dalì, la meraviglia non può più essere solo legata alla questione artistica, ma anche all’abilità e alla competenza matematica nascosta, non evidenziata, data per scontata. E, finalmente, si capiscono il titolo e il forte messaggio di fede celato in esso. Non più solo, dunque, un Cristo che si rivela in altri mondi, idea che fece condannare Giordano Bruno, per quanto non appaia esplicitamente fra i suoi capi d’accusa, ma un Cristo redentore in un mondo più che tridimensionale.

Fantascienza e fantareligione s’intrecciamo grazie alla matematica e all'arte.

 

Bibliografia

D’Amore B. (2015). Arte e matematica. Metafore, analogie, rappresentazioni, identità tra due mondi possibili. Bari: Dedalo.

 

Bruno D’Amore

Laureato in matematica, in filosofia e in pedagogia, PhD in Mathematics Education, PhD honoris causa in Social Sciences and Education, critico d'arte, attivo come docente e direttore di tesi presso il dottorato in Educación Matemática presso l'Università Distrital "Francisco José de Caldas" di Bogotà.

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