Sapere Scienza

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Antichi strumenti rabdologici di calcolo aritmetico

di 

Eseguire calcoli è operazione difficile e lenta e, spesso, la noia che ne deriva allontana molti dalla matematica. 
Ho cercato sempre, con tutta la forza e il talento che avevo a disposizione, di rendere più spedito questo processo.
                                     (John Napier)

 

Gli strumenti di calcolo aritmetico rabdologici non sono fondati su una logica strana, ma semplicemente si tratta di asticciole (ραβδοξ) che servono per moltiplicare o dividere due numeri. Rabdologiae, seu numerationis per virgulas è il titolo di un testo scritto da John Napier e pubblicato subito dopo la sua morte avvenuta il 4 aprile 1617. 


John Napier, da noi conosciuto con il nome latinizzato di Giovanni Nepero, (Merchiston Castle, 1550 - Edimburgo, 1617) era di nobile e ricca famiglia protestante, poteva fregiarsi del titolo di barone di Merchiston, ma non era un matematico di professione. A soli 13 anni fu iscritto alla St.Andrews University dove si appassionò alla teologia e completò gli studi all'estero, forse a Parigi. Tornò in Scozia nel 1571, dove si dedicò alla cura delle proprietà della famiglia, in particolare all'agricoltura verso la quale ebbe un approccio scientifico sperimentando vari tipi di concimi. Ben presto abbandonò la teologia per occuparsi di argomenti scientifici, in particolare di meccanica, di balistica, di astronomia e di problemi bellici. Dalle ricerche in questi campi scaturirono gli studi sui metodi di semplificazione dei calcoli numerici che lo portarono all'invenzione dei logaritmi, annunciata in Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614) e in Mirifici logaritmorum Canonis Constructio (1619).

 

La moltiplicazione “a reticolo”

 

Prima di presentare questi antichi strumenti di calcolo, ricordiamo l'algoritmo della moltiplicazione utilizzato da Nepero per realizzare i suoi bastoncini. È uno schema trasmesso dagli indiani agli arabi, i quali lo chiamarono "a caselle" (dyadwall) o "a reticolo" (chabagah). In Italia, alla fine del 1400, questo metodo era detto «a gelosia» e la motivazione dello strano appellativo si trova nella Summa de Arithmetica (1494) di Luca Pacioli: "Gelosia intendiamo quelle graticelle che si costumano mettere alle finestre de le case dove habitano done; acio che non si possino facilmente vedere ...".
Il moltiplicando e il moltiplicatore si scrivono ai lati di un rettangolo suddiviso in caselle quadrate. Ogni casella viene divisa in due da una diagonale e riempita con i prodotti parziali, come in figura 1.

 

 

 

Figura 1

 

Infine si somma in diagonale, da destra a sinistra, ottenendo così il prodotto richiesto. È da notare che utilizzando la configurazione riportata in figura 1 c'è anche lo spazio per scrivere i riporti e questo accorgimento fa diminuire la probabilità di errore.
A parte il fastidio di disegnare il reticolo, questo schema oltre che sicuro è anche rapido e per tale motivo la moltiplicazione così eseguita veniva chiamata «fulminea».
Nella figura 2 è raffigurato lo schema di moltiplicazione «a reticolo» ripreso da L’arte de labbacho di autore ignoto, stampato a Treviso nel 1478.

 

 

Figura 2

 

Bastoncini di Nepero
 

Sono una o più serie di asticciole di legno o di altro materiale, a sezione quadrata con le facce laterali divise in dieci quadrati nei quali, eccetto il primo, è tracciata la diagonale che va dal basso a sinistra in alto a destra. Nel primo quadratino in alto è stampata una delle cifre della base dieci, mentre negli altri quadratini di ogni asticciola sono riportati i multipli del numero che sta in testa: le decine al di sopra della diagonale, le unità al di sotto di questa.
L’uso dei bastoncini di Nepero diventa macchinoso quando si vogliono moltiplicare due numeri aventi ciascuno due o più cifre. Se uno dei due fattori è composto da due o più cifre consecutive (es. 345), con i bastoncini è facile calcolare il prodotto: basta sommare in diagonale i numeri che appaiono nelle caselle triangolari.

 

 

 

 

Esempio 1

527 x 345 =
5x100 + (0+3+8)x101 + (5+1+8+2+1)x102 + (2+0+6+2)x103 + (2+5)x104 + 1x105 = 181815.

 

Se nessuno dei due fattori è composto da cifre consecutive, bisogna trovare sui bastoncini i prodotti parziali e poi sommarli.

 

 

 

Esempio 2

527 x 42 = 527 x (40 + 2) = (527 x 40) + (527 x 2) =
=  21080 + 1054 = 22134

 

 

 

Bastoncini  o regoli di Nepero realizzati da Bruno Jannamorelli

 

 

La divisione con i bastoncini di Nepero

 

I bastoncini di Nepero possono essere utilizzati anche per eseguire le divisioni. Riportiamo l’esempio scritto nelle Rabdologiae. Alla figura 3, presente nel testo originale, aggiungiamo la figura 4, per noi più familiare, e la figura 5 per seguire meglio i vari passi.

 

 

 

 

Esempio

 

Eseguire la divisione di 589.475 per 365

 

 

 

 

Figura 3

 

 

 

Figura 4

 

 

1° passo: Scrivi il primo numero, il dividendo, su un foglio di carta (come nella fig. ) e cerca i bastoncini per formare il secondo (il divisore). Tra tutti i multipli di 365, lo stesso 365 è quello (secondo il fattore 1) che approssima meglio 589 (il primo gruppo di cifre del dividendo). Il numero 365 deve essere perciò scritto sotto 589 e sottratto da questo. La differenza 224 si scrive al di sopra di 589, e il fattore di molteplicità 1 [che Nepero chiama quotumus, in latino significa quanto, n.d.A.] è la prima cifra del quoziente che stiamo cercando e si scrive a destra.

 

2° passo: Sulla riga del 6 dei bastoncini troverai 2190 che è il multiplo del divisore, secondo il fattore 6, più vicino ma minore del numero 2244 che appare sopra il dividendo [a 224, scritto sopra il dividendo, bisogna affiancare 4, quarta cifra del dividendo n.d.A]. Il numero 2190 sarà, perciò, scritto sotto, in corrispondenza di 2244, e sottratto da questo. La differenza ottenuta è 54, che deve essere scritto sopra, mentre il fattore di molteplicità 6 si colloca a destra del quoziente.

 

3° passo: Si ripete il 2° passo. Si cerca il multiplo di 365 che approssima meglio 547 per difetto. Si trova nuovamente 365 stesso. Questo deve essere sottratto da 547 e la differenza 182 si scrive sopra, mentre il fattore di molteplicità 1 si colloca a destra del quoziente.

 

4° passo: Infine, bisogna cercare il multiplo che approssima meglio per difetto 1825 e sulla riga del 5 si trova proprio 1825. Questo numero deve essere scritto sopra e sottratto da se stesso. La differenza ottenuta è 0, che si scrive sopra e il fattore di molteplicità 5 è l’ultima cifra del quoziente.

 

Così il quoziente cercato è 1615.

 

 

Figura 5

Bruno Jannamorelli

Insegnante di Matematica e Fisica nei licei per oltre trent’anni. Dal 2010 è docente a contratto di Didattica della Matematica presso il corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria dell’Università dell’Aquila. È autore di diverse pubblicazioni riguardanti la didattica e la divulgazione della matematica. Gestisce il sito www.lumacamens.it.

copertina   novembre-dicembre 2018

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