Sapere Scienza

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Pi Day: due domande su pi-greco

11 Marzo 2021 di 
Pi-greco è un numero mitico?

 

Pi-greco nacque dal rapporto tra Circonferenza, la dea della regolarità, e Diametro, una divinità limitata che abitava tra due punti e amava passeggiare per il centro. All’inizio il piccolo Pi-greco fu allevato dal matematico Archimede che dopo novantasei tentativi di capire il suo pupillo fu talmente stanco da rinunciare all’impresa. Venne codificata la tecnica geometrica/psicologica detta “metodo di esaustione” in cui è il mentore ad arrendersi lasciando sempre un po’ di mistero in quel che si vuol conoscere.
La madre di Pi-greco sospettò subito della irrazionalità della situazione. Una volta, ad esempio, l’algebrista Viète dovette ripescare il discolo mentre cascava con Radical-due in un vortice infinito. In un’altra occasione con il figlio di Nepero e gli elementi neutri Uno e Zero, il monello si infilò in un campo complesso, scrivendo la più bella formula della matematica. Tanto spesso, per non vedere questo atteggiamento costante di suo figlio, sua maestà Equidistanza girava la testa dall’altra parte. A dire il vero, questo suo movimento non si notava molto! Altre volte, invece, la regina della simmetria si vergognava di quel ragazzo che portava la coda tutta disordinata e lo rimproverava. Pi-greco si difendeva rispondendo: «Chi nasce tondo non può morire quadrato!». Nel 1882 l’esperto Lindemann certificò proprio questo e Diametro comprese che capire suo figlio era una questione trascendente.
Così lo lasciarono libero di scorrazzare nei più disparati contesti riempendo anche la probabilità, la teoria dei numeri e la geometria differenziale con la sua versatilità. Un giorno era angolo piatto, un altro era misura di volume e un altro ancora ispirava poesie. Ma quando Pi-greco tornò a casa a raccontare come fosse apparso nello studio della teoria del caos o nella formula di indeterminazione di Heisenberg sua madre si arrese e sentenziò: «Tu non sei normale!». Il birbante ridendo rivelò che alla sua normalità credevano invece tutti, ma lui si sentiva così speciale che nessuno sapeva dimostrare il contrario.

 

Pi-greco è un numero normale?

 

Nel 1909 Émile Borel introdusse i numeri normali. Per impratichirci con questo concetto, consideriamo solo i numeri reali tra zero e uno immaginandone lo sviluppo decimale. Scartando i numeri razionali (che hanno la coda decimale a sviluppo finito o periodico), restano i numeri irrazionali. Questi sono “molti di più” sia nel senso della teoria della misura che nel senso degli infiniti.
Per capirlo pensiamo non a come si combinano le cifre decimali, ma a come si combinano le lettere dell’alfabeto. Intuiamo che i libri di infinite parole che possiamo scrivere con la regola che da una certa pagina in poi una stringa di lettere deve ripetersi continuamente, sono molti meno dei libri che possiamo scrivere liberamente, senza quel vincolo. I matematici dicono che i numeri razionali sono un insieme “trascurabile”; da un certo punto di vista, libri che possiamo smettere di leggere anche se molto diffusi. La definizione di Borel è un tantino complicata: un numero irrazionale è normale se ogni cifra o gruppo di cifre si presenta in media con la stessa frequenza di ogni altro gruppo di cifre che ha la stessa lunghezza.
Per semplificare torniamo ai libri e facciamo un esperimento opposto al precedente. Prendiamo un bel librone che ci piaccia – la Gerusalemme Liberata di Torquato Tasso, l’Ulisse di Joyce, Infinite Jest di Wallace, Gödel, Escher, Bach di Hofstadter, oppure Guerra e Pace di Tolstoj – e lo riscriviamo in cifre, attribuendo a ogni lettera un numero e un numero anche agli spazi e ai segni di interpunzione. Adesso ci chiediamo se c’è un numero decimale che contiene tutta la Gerusalemme Liberata. Certo! Basta mettere zero e dopo la virgola il lunghissimo numero che abbiamo ottenuto. È persino un numero razionale a sviluppo decimale finito. C’è un numero che ha nel suo sviluppo decimale tutte e cinque le opere citate? Ovviamente sì, dobbiamo solo lavorare di più. Viceversa, peschiamo un numero a caso tra zero e uno. Per quanto detto prima, quasi certamente abbiamo pescato un numero irrazionale. Nella sua coda infinita c’è il numero civico della nostra casa? Potrebbe o meno esserci. Ad esempio il numero 0,1001000100001…, che contiene solo zeri e uno con stringhe di zeri sempre più lunghe, non contiene il civico 7. Questo numero è irrazionale ma troppo poco random.
Quando Borel introduce i numeri normali invita a cercare nella loro coda tutte le stringhe possibili. In altre parole la parte decimale di un numero è normale se contiene tutti i libri scritti e quelli da scrivere e quelli che non scriveremo mai! È una proprietà bellissima questa dei numeri normali, è la proprietà di numeri-biblioteca infinita!
Perché non li chiamiamo numeri speciali allora? Perché Borel dimostrò anche che, proprio come per i numeri irrazionali, anche i numeri normali sono “quasi tutti” i numeri! Diversamente dagli irrazionali, però, ne conosciamo pochissimi.
Chiaramente è normale il numero di Champernowne, la cui coda è solo l’ordinatissima biblioteca di numeri naturali scritti in ordine crescente. E pi-greco? Trascurando la sua parte intera, il tre iniziale, ci riconduciamo a un numero tra zero e uno. La sua coda è abbastanza complessa da essere la biblioteca totale?
La festa del 14 marzo – il Pi Day – è per molti divulgatori l’occasione di stupire raccontando che nella sua coda possiamo trovare tutti numeri di cellulare e le date di nascita, ma queste sono stringhe piccolissime! Probabilmente nessuno ha cercato davvero tutta la Gerusalemme Liberata nella sua coda decimale! Tuttavia, se fossimo così fortunati da avere un calcolatore abbastanza potente per farlo in tempo ragionevole, e doppiamente fortunati a trovare tale stringa, non avremmo provato solo che la coda di pi-greco contiene la Gerusalemme Liberata infinite volte, ma anche l’Ulisse di Joyce e Infinite Jest di Wallace, Gödel, Escher, Bach di Hofstadter e Guerra e Pace di Tolstoj, oltre che all’etichetta del succo di frutta. I matematici congetturano che pi-greco sia normale ma stanno ancora cercando una dimostrazione. Occorre un ragionamento astratto, un’idea potente, un metodo probabilmente nuovo e non ci stancheremo di cercarlo. Stavolta niente esaustione!
Chissà a quale sua festa gli regaleremo la certezza di essere normale oppure ci smentiremo e scopriremo che non è normale perché un gruppo di cifre si ribellerà rifiutando di ripetersi opportunamente. Chissà a quale frase corrisponderebbe un siffatto gruppo! Magari alla frase «la storia di pi-greco non è finita!».

Nota Finale. Questo racconto è dedicato a Pietro Greco che nel 2016 concluse un suo libro sulla storia della costante sua omonima con la frase: «la storia di pi-greco non è finita». Anche Pietro era speciale come questo numero e anche la sua storia di comunicazione resta infinita.

Sandra Lucente

Sandra Lucente insegna Analisi Matematica presso l’Università degli Studi di Bari. Si occupa di PDE non lineari iperboliche. Scrive libri, articoli di quotidiani e riviste, soprattutto su turismo matematico e matematica e letteratura. Tiene conferenze divulgative, ma anche laboratori di formazione per docenti e seminari di comunicazione della scienza.

copertina   marzo-aprile 2021

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