Ci sono opere che attraversano rocambolescamente i millenni e arrivano a noi con tutta la loro freschezza e ricchezza. Una di queste è l’Arenario di Archimede, scienziato vissuto in Sicilia (a Siracusa) immediatamente prima dell’occupazione romana e, come sappiamo, uno dei più grandi uomini di scienza dell’antichità, tanto importante da essere entrato senza mediazioni nella fantasia di ogni bambino che abbia letto Topolino, con la figura (per carità, stereotipata) di Archimede Pitagorico.
Contare i granelli di sabbia
Nell’Arenario Archimede conta i granelli di sabbia, un’operazione che, a tutta prima, non sembra granché degna di un grande scienziato, ma che invece mostra tutta l’utilità e la potenza della matematica. Il libricino non è un vero testo scientifico, ma possiamo considerarlo più come un testo di (alta) divulgazione, rintracciabile, per altro, in una edizione online, curata da Heinrich F. Fleck.
Come racconta Carlo Rovelli in un vecchio articolo[1] (ma come ci dice anche il testo di Fleck), il problema è la costruzione di un sistema aritmetico perché i numeri usati nel III secolo a. C. (o “prima dell’era volgare”) non permettevano di contare oggetti sopra una certa numerosità. Siamo al periodo in cui incombe l’arrivo dei Romani, ma i Greci avevano un sistema di numerazione simile, posizionale, in cui X indica 10, V indica 5 e 15 si scrive XV. Il numero più grande che avesse un nome era “miriade” e valeva 10 000 (indicato con la lettera M). Insomma: tanto più in là di quel numero non si andava e quindi Archimede inventò un sistema per indicare numeri arbitrariamente grandi. Il procedimento ricorda quello che Cantor ideò per la creazione della sua tassonomia di infiniti, secondo la quale l’infinito dei numeri naturali ha la stessa “taglia” di quello dei numeri razionali, mentre l’infinito dei numeri reali è più grande.
Ma torniamo ad Archimede: egli crea numeri di secondo tipo, ovvero quelli che sono una miriade di miriadi, ovvero 100 milioni (diecimila per diecimila). E poi del terzo tipo, iterando il metodo e ottenendo potenze che saltano di 4 in 4 secondo questo schema:
| Espressione (greca) | Valore numerico | Potenza di 10 |
| 1 miriade (μυριάς) | 10.000 | 104 |
| 1 miriade di miriadi (μυριάς μυριάδων) | 100.000.000 | 108 |
| 1 miriade di miriadi di miriadi | 1.000.000.000.000 | 1012 |
| 1 miriade di miriadi di miriadi di miriadi | 10.000.000.000.000.000 | 1016 |
| … | … | … |
Dalla sabbia all’Universo
Messo a punto il metodo, nell’Arenario si offre quindi una stima del numero dei granelli di sabbia nel mondo, ma non solo: il metodo dà all’autore l’occasione di stimare anche qual è il numero di granelli di sabbia che riempirebbe l’intero Universo (si intende l’Universo allora conosciuto). Il metodo è, ancora una volta, quello delle “unità di misura” successive: quanti granelli di sabbia servono a riempire un seme di sesamo? Quanti semi di sesamo servono a riempire una scatola larga come il suo indice (di Archimede)? Quante scatole di questo tipo riempirebbero la Terra? Quante Terre il Sistema Solare? La preziosità di questo testo è che, grazie a questo procedimento, Archimede ci informa delle tecniche di misura piuttosto accurate che usa per misurare il diametro e la distanza del Sole e della Luna, e delle teorie astronomiche che conosce, accennando, per altro, alla teoria eliocentrica di Aristarco, che anticipa Copernico di una quindicina di secoli[2].
Archimede conclude che anche se l’Universo fosse grande quanto ipotizzato da Aristarco di Samo (con il Sole molto più grande della Terra, e le stelle ancora più lontane), il numero di granelli di sabbia necessari a riempirlo non supererebbe il numero che lui è in grado di rappresentare (1064).
È un risultato notevolissimo, non solo per l’epoca, ma perché anticipa il concetto moderno di notazione esponenziale e il calcolo con numeri immensi. Nello stesso tempo la menzione di Archimede è la più antica testimonianza scritta che ci resti dell’ipotesi eliocentrica.
Ma c’è dell’altro. L’incipit dell’Arenario è una lettera inviata a re Gelone:
[Vi sono] alcuni, o re Gelone, [che] stimano il numero [dei grani] d’arena essere indeterminabile nel numero, [e] non mi riferisco [già] soltanto a [quei grani d’arena che stanno] attorno a Siracusa o nel resto della Sicilia, ma anche a quelli [diffusi] per ogni parte della Terra, abitata o inabitata che questa sia. D’altra parte vi sono altri che, pur non considerando questo numero infinito, credono tuttavia [che sia] impossibile definire un numero [che esprima una] grandezza tale da superare [quella] quantità[3].
Insomma: secondo alcuni – tra i quali evidentemente anche gli estensori di uno dei libri sapienziali della Bibbia, il Siracide – i granelli di sabbia non sono contabili e non lo sarebbero per dogma divino. Un’aperta polemica? Una forma di hybris da parte dello scienziato siracusano? Non lo sappiamo, ma il Siracide, sempre in apertura, dice, o forse ammonisce:
Ogni sapienza viene dal Signore e con lui rimane per sempre. La sabbia del mare, le gocce della pioggia e i giorni dei secoli chi li potrà contare? L’altezza del cielo, la distesa della terra e le profondità dell’abisso chi le potrà esplorare?
Sia come sia: i granelli di sabbia si possono contare, o quanto meno se ne può offrire una stima affidabile; nel frattempo, nei due millenni e spiccioli che ci separano da Archimede, molte delle letture (letterali, metaforiche, allegoriche) della Bibbia sono state invalidate dalla scienza (senza per altro intaccare il fascino di queste stesse letture) e Archimede, col suo Arenario, ci offre la sua strada sulla “contabilità” dei granelli di sabbia. Ma a cosa dovrebbe servire contare i granelli di sabbia, se non a dare la misura della grandezza di un amore (assoluto)?
Quantificare l’impossibile da quantificare
Uno dei compositori che amo di più della modernità è un ebreo americano che per un certo numero di anni ha fatto il tassista a New York: Philip Glass. Tra le sue numerose opere – che risentono di tutta l’eredità della corrente minimalista di cui è stato tra i fondatori – si trova un’interessante trilogia che non ha punti in comune tra un’opera e l’altra se non quello, secondo l’autore, di dedicare ogni singola opera alla figura che ha cambiato il corso della storia, in diversi ambiti, non con la forza militare, ma con la forza del pensiero. Le figure sono Einstein per la scienza (Einstein on the Beach, 1976), Gandhi per la politica (la nonviolenza, il cambiamento sociale: Satyagraha, 1980) e infine il faraone egiziano Akhnaten (talvolta traslitterato come Akhenaton o Echnaton) per la religione (il monoteismo nell’antico Egitto: Akhnaten, 1983). Le opere, in alcuni casi, sono a dir poco monumentali: Einstein on the Beach dura, senza interruzioni, cinque ore circa e al pubblico è permesso entrare e uscire a piacimento. Per i comuni mortali, in epoca successiva fu realizzato un long playing, diventato poi un compact disc dal titolo Songs from the Trilogy. Proprio l’ultima canzone di questo CD, Knee 5 (ascoltabile qui), ha un suo magnetico fascino. Il coro, in una lunga parte introduttiva, a cappella, senza strumenti se non con la variazione minimale di una nota di fondo, semplicemente canta i numeri (One, two, three, four | One, two, three, four, five, six | One, two, three, four, five, six, seven, eight…). A un certo punto si innesta un violino. Sul violino si sentono voci di sottofondo, ma a un certo punto si innesta più chiara una voce narrante che dice:
Two lovers sat on a park bench
with their bodies touching each other,
holding hands in the moonlight.
There was silence between them
So profound was their love for each other,
they needed no words to express it.
And so they sat in silence, on a park bench, with their bodies touching,
holding hands in the moonlight.
Finally she spoke
«Do you love me, John?» she asked,
«You know I love you, darling» he replied.
«I love you more than tongue can tell
You are the light of my life
my sun, moon and stars.
You are my everything.
Without you I have no reason for being».
Again there was silence as the two lovers sat on a park bench,
their bodies touching, holding hands in the moonlight.
Lei non pare essere ancora soddisfatta dalla risposta “qualitativa” del suo amato e quindi chiede (e già la domanda un po’ ci fa sorridere, ma chi di noi non se l’è mai posta o non l’ha posta, anche solo per scherzo, al partner?): ma “quanto” mi ami?
Once more she spoke.
«How much do you love me, John?» she asked
He answered, «How much do I love you? Count the stars in the sky
Measure the waters of the oceans with a teaspoon
Number the grains of sand on the seashore
Impossible, you say».
Insomma, ecco quanto: e qui torna la sabbia, il numero dei granelli sulle spiagge che, insieme al numero delle stelle nel cielo e dell’acqua degli oceani, misurata in cucchiaini da tè, vuol provare a dare la misura di questo amore. Ma l’amato, seduto sulla panchina con la sua amata, pare voltarsi e ci piace immaginare con un mezzo sorriso, chiosa dicendo: «Dici che è impossibile?».
[1] C. Rovelli, Alcuni pensano, o re Gelone, che i granelli di sabbia non si possano contare, «Domenica» de «Il Sole 24 Ore», 1° aprile 2012.
[2] Ricordiamo che, nello stesso periodo, poco più a sud, Eratostene di Cirene misura con un bastone la circonferenza della Terra.
[3] Archimede, Arenario, a cura di Heinrich F. Fleck, p. 89.
Immagine di copertina: foto di Luciano Celi
