Le tracce di DNA ritrovate sul cadavere corrispondono al 99,9% al profilo del Signor X. Pertanto Mister X è l’assassino che stavamo cercando! Sembra un argomento del tutto plausibile, tanto da risultare decisivo in molte vicende giudiziarie. Del resto, adottiamo usualmente argomenti simili tutti i giorni. La probabilità che un mattone ci colpisca in testa mentre passeggiamo per la città è talmente piccola che non ce ne preoccupiamo affatto prima di uscire di casa. Se un evento è estremamente improbabile allora non accadrà di certo!
Eppure anche gli eventi molto improbabili accadono: sebbene vincere alla lotteria sia piuttosto improbabile, qualcuno finisce per vincere… Anche la saggezza popolare afferma che c’è sempre «l’eccezione che conferma la regola».
Questa apparente contraddizione è indice delle insidie che la nozione di probabilità porta con sé, specialmente quando la si utilizza per supportare argomenti speculativi. Per esempio, quando talvolta si sente dire che la vita aliena esiste quasi certamente: considerata la vastità dell’Universo la probabilità che la vita extraterrestre esista deve essere significativa, si argomenta. Oppure il famoso argomento di Richard Dawkins sull’improbabilità dell’esistenza di Dio. Nel suo libro L’illusione di Dio, lo studioso si propone infatti di “dimostrare” che la probabilità dell’esistenza di un creatore soprannaturale è molto, molto bassa, talmente bassa che all’atto pratico è come se Dio non esistesse.
Tralasciando il problema non secondario sulla pertinenza del calcolo effettivo della probabilità per situazioni così complesse, e per molti versi ancora incomprese, come la comparsa della vita, l’esistenza degli alieni o addirittura di Dio, anche se si potesse stimare in modo più o meno preciso la probabilità, molte argomentazioni basate su di essa restano piuttosto fuorvianti. I punti di disguido di base sono principalmente due.
- Eventi certi e impossibili
Il primo punto debole su cui anche persone molto preparate possono scivolare è l’identificazione tra eventi impossibili/improbabili (o certi/probabili). Qual è la probabilità che a un giro di tombola esca il numero 97? Zero, perché si tratta di un evento impossibile, giacché il numero 97 non è materialmente contenuto nel sacchetto di gioco (sempre che lo zio buontempone di turno non si sia preso la briga di inserire truffaldinamente il numero estraneo per farci uno scherzo). Effettivamente, tutti i manuali insegnano che la probabilità dell’evento impossibile è zero e, conseguentemente, che la probabilità degli eventi certi è il 100%.
Il problema è che in generale non vale il viceversa! Tecnicamente, il viceversa vale soltanto per spazi campionari finiti. Ma questa non è la regola. Anzi, non appena si vogliano considerare questioni più complesse del lancio di una moneta o di un dado, è inevitabile trattare con l’infinito. In un tale contesto si possono individuare tantissimi eventi che hanno probabilità nulla, ma non sono impossibili. E simmetricamente eventi che, pur avendo probabilità del 100%, possono anche non accadere.
Per illustrare la situazione senza entrare in troppi tecnicismi, possiamo immaginare di tirare con l’arco. Da neofiti potremo far finta che il nostro risultato corrisponda a un tiro pressoché casuale. Possiamo stimare la probabilità che la freccia, tirata a caso, colpisca una certa regione del bersaglio con la sua area. Più è piccola la regione del bersaglio che si vuole colpire e più improbabile sarà beccarla davvero. Se la freccia è talmente sottile da considerala puntiforme, qual è la probabilità di colpire esattamente il centro del bersaglio? Avendo un solo caso di successo immerso in un’infinità di insuccessi, la probabilità è nulla. Ma ovviamente non si tratta di un evento impossibile. Qualche volta il centro sarà colpito. Anzi, il ragionamento vale ugualmente per qualunque punto del bersaglio. La probabilità di colpire un punto specifico è sempre zero. Allora ogni lancio della freccia realizza in realtà un evento che aveva in principio una probabilità nulla di accadere.
Si possono verificare situazioni ancora più suggestive. Se chiedessimo di colpire un punto del bersaglio a coordinate razionali, sebbene si tratti di infiniti punti sparsi un po’ ovunque sulla regione da colpire, la probabilità di colpirne uno qualunque è ancora zero, come è possibile mostrare con l’applicazione della teoria della misura.
Dunque, anche se Dawkins riuscisse a mostrare che la probabilità che Dio non esista è esattamente zero, questo non significherebbe affatto che l’esistenza di Dio corrisponda a qualcosa di impossibile!
- Legge dei grandi numeri
Un secondo punto nevralgico riguarda la cosiddetta legge dei grandi numeri. Tale legge è codificata sotto varie forme più o meno forti a seconda delle condizioni considerate. I corrispondenti teoremi stabiliscono essenzialmente che, nel passaggio al limite per infinite occorrenze, le frequenze relative coincidono con la probabilità.
A grandi linee, se, per esempio, la probabilità che esca testa (o croce) nel lancio di una moneta è del 50%, allora, su un grande numero di lanci, ci aspettiamo grosso modo lo stesso numero di croci e di teste. Certamente. Ma è possibile che, nel lanciare la moneta, escano diciamo 100 teste consecutive e nessuna croce? Si tratta di un evento molto improbabile, eppure la possibilità che accada non contraddice la legge dei grandi numeri! Cosa che erroneamente ritengono i giocatori che inseguono i cosiddetti numeri ritardatari al Lotto. Se un certo numero non viene estratto da molto tempo, per soddisfare la legge dei grandi numeri, si argomenta, la sua uscita dovrà essere più probabile al fine di equilibrare la frequenza attesa.
Il problema è che solo asintoticamente il numero in questione uscirà in media una volta ogni novanta, nel caso ideale di un gioco con infinite ripetizioni. Pertanto, il numero ritardatario potrebbe farsi beffe di noi e non farsi vedere per una vita intera, e poi improvvisamente fare capolino più volte. Anche l’evento più improbabile, persino quello con probabilità nulla, può accadere, anzi in un certo senso deve accadere e senza per questo contraddire la legge dei grandi numeri.
Se la probabilità di un evento è nulla, questo non vuol dire che le frequenze dell’evento siano tutte nulle, ma solo che asintoticamente le frequenze relative diventano arbitrariamente vicine (nel senso matematicamente più preciso di passaggio al limite) a zero. Così, in un fenomeno intrinsecamente casuale, l’evento di probabilità nulla può anche verificarsi centinaia di volte su una infinità di casi.
La possibilità dell’improbabile può essere addirittura costruita con certezza (per quanto facile da realizzare, ci dissociamo da tutti gli utilizzi illegali che potrebbero utilizzare la tecnica che stiamo per esporre).
Qual è la probabilità di predire l’esito di una gara di corsa per quattro volte consecutive? Molto bassa. Chi avesse questo dono si arricchirebbe facilmente con le scommesse! Potremmo mai convincere qualcuno di essere così tanto bravi? Immaginiamo che la corsa riguardi 10 concorrenti. Selezioniamo 10 000 utenti a cui mandare una mail contenente l’esito della gara, invitando a controllare poi il risultato per verificare la previsione. Diffondiamo uniformemente i nominativi dei concorrenti in modo che mille persone ricevano la previsione di vittoria per il concorrente numero uno, altre mille quella per il concorrente due e così via. Finita la gara abbiamo la certezza di aver azzeccato la previsione in ben mille casi. Ripetiamo allora la procedura con questi mille fortunati. A cento di loro mandiamo la previsione sull’esito della gara successiva dando vincente il concorrente uno. Altri cento messaggi con il concorrente due e così via. Dopo la seconda gara avremo un set di cento casi in cui abbiamo previsto correttamente l’esito della gara per ben due volte consecutive. Ripetendo ancora il procedimento su questi cento casi ne selezioneremo dieci in cui la previsione è avvenuta correttamente per tre volte consecutive. E infine tra questi dieci, dopo un ulteriore invio di mail secondo il medesimo meccanismo, dopo la quarta gara ci sarà con certezza una persona che penserà che siamo dei maghi delle corse!
Qual è la lezione da trarre da tutto ciò? Innanzitutto che la probabilità meriterebbe di essere studiata e meditata approfonditamente, e poi, a grandi linee, che nei ragionamenti che coinvolgono la probabilità e la statistica pochi casi singoli non sono significativi. Anche in questo ci soccorre la saggezza popolare: una rondine non fa primavera!
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