Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di lato assegnato, è uno dei tre problemi classici della matematica greca, insieme alla trisezione dell’angolo e alla quadratura del cerchio. È necessario precisare che, per i Greci, il problema consisteva nella costruzione con riga e compasso dello spigolo del cubo richiesto. Non sono mai riusciti nell’impresa e per questo hanno cercato altre soluzioni. Ma presentiamo le leggende relative alla nascita del problema, prima di arrivare alle soluzioni di Leonardo da Vinci.
Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di lato assegnato, è uno dei tre problemi classici della matematica greca, insieme alla trisezione dell’angolo e alla quadratura del cerchio. È necessario precisare che, per i Greci, il problema consisteva nella costruzione con riga e compasso dello spigolo del cubo richiesto. Non sono mai riusciti nell’impresa e per questo hanno cercato altre soluzioni. Ma presentiamo le leggende relative alla nascita del problema, prima di arrivare alle soluzioni di Leonardo da Vinci.
Il sepolcro di Glauco o la peste di Atene
In una lettera indirizzata da Eratostene (276 a.C. – 194 a.C.) a Tolomeo III si parla di due leggende che hanno dato origine al problema della duplicazione del cubo:
Eratostene di Cirene, Libia, (276-194 a.C.)
Eratostene a Tolomeo, salute.
Narrano che uno degli antichi poeti tragici facesse apparire sulla scena Mino [Minosse, re di Creta] nell’atto di far costruire una tomba al figlio Glauco e che Mino, accorgendosi che questa era lunga da ogni lato cento piedi, dicesse: ” … piccolo spazio invero accordasti ad un sepolcro di re; raddoppialo, conservandolo sempre di forma cubica, raddoppia subito tutti i lati del sepolcro”.
Or è chiaro che egli s’ingannava. Infatti, duplicandone i lati, una figura piana si quadruplica, mentre una solida si ottuplica.
Allora anche fra i geometri fu agitata la questione in qual modo si potesse duplicare una data figura solida qualunque, conservandone la specie. E questo problema fu chiamato duplicazione del cubo.
Più avanti nella stessa lettera, Eratostene riporta un’altra leggenda che parla dell’oracolo di Delo:
…che aveva imposto agli abitanti di Delo di raddoppiare l’altare di forma cubica, dedicato al dio. Il quesito aveva generato aporia negli “architetti”, che ne avevano cercata la soluzione, sicché i Deli avevano cercato consiglio presso Platone, che aveva interpretato l’oracolo come un rimprovero del dio agli Elleni di trascurare la geometria e un invito a occuparsene, non tanto come un’espressione del desiderio del dio di avere un altare doppio.
Una conferma di questa leggenda la troviamo in Giovanni Filopono (vissuto nel VI secolo d.C. ad Alessandria d’Egitto) il quale narra di una devastante epidemia di peste che mieteva tante vittime e del ricorso degli abitanti all’oracolo di Delo per sapere cosa dovessero offrire al dio Apollo per placare la pestilenza.
“…quando dio annunciò agli abitanti di Delo, attraverso l’oracolo, che, al fine di sbarazzarsi della pestilenza, essi dovessero costruire un altare doppio di quello che esisteva, i loro operai specializzati caddero in una grande perplessità nei loro tentativi di scoprire come si potesse realizzare il doppio di un solido simile; essi, perciò, si recarono da Platone, per interrogarlo a proposito di ciò, ed egli rispose che l’oracolo non intendeva che il dio volesse un altare di misura doppia, ma che egli desiderava, nell’affidargli il compito, disonorare i Greci per la loro negligenza in matematica e il loro disprezzo della geometria. “Il dio ha punito il popolo per aver trascurato la scienza della geometria che è scienza per eccellenza”.
Racconti analoghi ricorrono anche in altri testi di Plutarco, precisamente De E apud Delphos (6, 386 e) e De genio Socratis (7, 579 b-d), con l’aggiunta in quest’ultimo che i Deli si erano rivolti a Platone in quanto geometrikòs.
Alcune soluzioni trovate dai Greci per duplicare un cubo è possibile reperirle nel sito www.lumacamens.it (tra i Contenuti nella pagina Matematica: divulgazione e didattica).
Le soluzioni di Leonardo da Vinci
Una prima soluzione, in un caso particolare, Leonardo la riporta nel Codice Atlantico, foglio 161 recto, dove disegna due cubi e scrive:
De’ due cubi i quali son doppi uno dell’altro … Se la linia ie fussi 4, la linia ae sarebbe 5 e oltre a di questo una certa minuzia indicibile… .
In effetti, se il lato del cubo piccolo fosse 4 avrebbe un volume 64 e il cubo di lato 5 avrebbe un volume 125 che è un po’ meno del doppio di 64. Il lato del cubo doppio dovrebbe essere 5,039… la minuzia indicibile oltre il 5 di cui parla Leonardo.
Una soluzione più articolata viene presentata da Leonardo nel Codice Atlantico, foglio 588 recto, dove elenca alcuni passaggi per una costruzione geometrica raffigurata nel seguente disegno:
Riportiamo i vari passi della costruzione:
1. disegna su un piano un rettangolo ABCD formato da due facce del cubo che si vuole raddoppiare;
2. sul prolungamento del lato corto del rettangolo riporta con il compasso il segmento che parte dal vertice A, in alto a sinistra del rettangolo, e arriva al centro del quadrato a destra del rettangolo;
3. unisci con una retta il punto trovato Q con il vertice B in alto a destra del rettangolo. Se chiami P il punto d’intersezione di tale retta con il prolungamento del lato lungo del rettangolo, allora CP è il lato del cubo di volume doppio di quello assegnato di lato BC.
La stessa costruzione si trova nel Codice Forster I, foglio 32, dove Leonardo disegna il cubo equivalente al prisma formato da due cubi uguali.
Leonardo riprende la soluzione classica attribuita da Eutocio a Erone e Apollonio:
“Con centro in O, punto d’intersezione delle diagonali del rettangolo [un lato doppio dell’altro], si disegni una circonferenza che intersechi i prolungamenti di AB e AC in F, E, facendo in modo che questi punti siano allineati con D…”
Il segmento CE risulta essere il lato del cubo di volume doppio di quello avente lato AB. La dimostrazione attribuita da Eutocio a Erone e ad Apollonio è possibile trovarla nel sito web citato sopra. In verità, se si vuole eseguire questa costruzione geometrica non è banale muovere contemporaneamente una riga per allineare i punti F, D, E e un compasso per assicurarsi che OF sia uguale ad OE. Infatti, Leonardo coglie questa difficoltà per denigrare la soluzione dei due matematici greci ed esaltare la sua costruzione. Sempre nel foglio 588 recto del Codice Atlantico, annota:
… dove li antichi mediante l’arco trovavan negoziando la dubbiosa situazione della corda, qui si fa il contrario, perché io fo la situazion della corda colli sua estremi e mediante quella truovo la situazione delli veri stremi dello arco …
Leonardo intuisce le possibili obiezioni dei matematici che vorranno avere ragione della sua soluzione empirica e subito aggiunge:
Se mi dirai per che cagione il semidiamitro del circolo entra sei volte nella sua circonferenza, e perché il diamitro del quadrato non è commisura-bile alla sua costa, io ti dirò perché la linia retta, che si parte dall’angolo stremo superiore de l’un de’ dua quadrati congiunti e termina nel centro del secondo quadrato, ci mostra la radice cuba de’ dua cubi ridotti ‘n un sol cubo.
La risposta di Leonardo mostra le sue abilità di affabulatore e, a dire il vero, la soluzione dei Greci è sicuramente esatta ed elegante mentre quella del genio di Vinci è approssimata, ma praticabile.
Credits immagine di copertina: pubblico dominio via Wikimedia Commons
