Covid-19 e altre epidemie: come si diffonde una malattia infettiva?

Tutti noi stiamo vivendo ancora un momento difficile dovuto all’incremento dei casi di Covid-19 e ci viene chiesto di indossare i dispositivi di protezione individuali (Dpi) come mascherine e guanti, di stare attenti all’igiene delle mani e di avere solo i “contatti sociali” minimi indispensabili. Fra tutte, quest’ultima richiesta è quella che pesa di più, sia come individui, sia per l’organizzazione delle attività della nostra società.

Ma perché è così importante il distanziamento sociale quando arriva una malattia infettiva che non è facilmente curabile, come in questo caso? Ci sentiamo rispondere che è fondamentale per rallentare la velocità di contagio, che bisogna “appiattire la curva” degli infetti, ovvero di quelli che hanno contratto il virus, che ne abbiano i sintomi o meno. Da dove viene questa curva? Perché è fatta così? Cosa vuol dire appiattirla?

Il modello di diffusione intuitivo

La dinamica del contagio può essere spiegata, anche se in modo semplificato, ricorrendo a un modello non troppo complicato, conosciuto come SIR dall’inglese Susceptible (suscettibili alla malattia), Infected (Infetti), Recovered (Guariti). È a tutti gli effetti un modello matematico che descrive la diffusione del contagio su una popolazione di N individui, contiene equazioni piuttosto elementari per gli addetti ai lavori, ma può essere comunque facilmente immaginato da tutti, ricorrendo a un’analogia con il funzionamento di un oggetto ben noto nel nostro quotidiano: la vasca da bagno.
Nel sistema che stiamo studiando, ovvero la diffusione di una malattia infettiva, possiamo distinguere 3 vasche da bagno collegate fra loro (Figura 1).
La prima contiene, per esempio, l’intera popolazione italiana che ancora non ha contratto il virus, i Sani suscettibili alla malattia (che per semplicità chiamaeremo solo Sani). I sani che contraggono il virus non sono più sani ed escono “idealmente” dalla prima vasca attraverso un rubinetto per andare a popolare una seconda vasca, detta degli Infetti.
La velocità con cui le persone sane possono diventare infette dipende da due fattori principali. Il primo è detto tasso di contagio (k1) ed è caratteristico della malattia: semplificando, indica la probabilità con cui il virus può essere trasmesso fra persone che si trovano a una distanza ravvicinata per un certo tempo. Il secondo fattore ci dice che la velocità di contagio è anche proporzionale al numero totale delle persone presenti nella vasca dei sani moltiplicato il numero di quelle presenti nella vasca degli infetti: meno sono gli infetti, minore è la loro capacità di contagiare i sani; è anche vero che, se i sani rimasti sono pochi, si possono contagiare al massimo quelli.
Riassumendo: l’apertura del rubinetto 1, che rappresenta l’entità del flusso dei contagiati, è proporzionale sia alla capacità del virus di infettare (k1), sia alle popolazioni dei Sani e degli Infetti (le freccette blu che entrano nel rubinetto 1) che rimangono mescolate fra loro.

Figura 1

La seconda vasca tenderà a riempirsi di infetti man mano che il virus si diffonde, ma tenderà anche a svuotarsi man mano che gli individui infetti guariscono (o, ahimè, muoiono nei casi più gravi); diciamo quindi che questa vasca ha anche un secondo rubinetto, il rubinetto 2, che va ad alimentare la terza vasca, quella dei Guariti più gli eventuali Morti (Guariti+Morti). La terza è dunque una vasca di raccolta, che può solo riempirsi al massimo fino al livello iniziale della prima vasca (1000 individui), nell’ipotesi che i contagiati guariti siano diventati immuni alla malattia, non più suscettibili di riammalarsi (non possono tornare nella prima vasca dei Sani).
Riepilogando abbiamo:
–    una vasca 1 di sani che si può solo svuotare, ovvero il suo livello può solo calare man mano che i sani diventano infetti;
–    una vasca 2 il cui livello può sia salire per via dell’aumento del numero degli infetti, sia diminuire via via che gli infetti guariscono (per questo ci sono 2 rubinetti, uno di entrata e uno di uscita);
–    una vasca 3 il cui livello può solo aumentare, al massimo fino al livello più alto che aveva la vasca 1 (quando tutti i sani si sono ammalati passando per la vasca 2, poi sono guariti o purtroppo morti passando nella vasca 3).
Ora, per guarire, gli infetti hanno bisogno di essere curati, per esempio attraverso farmaci. Se per una certa malattia infettiva è stato individuato un farmaco la cui disponibilità sul mercato è a basso costo o erogabile con esenzione per renderla accessibile a tutti, il numero degli infetti può raggiungere anche valori molto alti, perché la cura è individuata e disponibile, per cui l’ammalarsi in molti e in tempi ravvicinati non provoca grossi problemi: continuiamo in questo caso a fare la vita di sempre e non ci preoccupiamo della nostra contagiosità.
Allo stesso modo, la disponibilità di un vaccino evita che la malattia venga contratta, per cui anche il ricorso ai farmaci, se la popolazione è vaccinata, rimane limitato e l’impatto sulle attività umane è trascurabile.
Possiamo quindi dire che: il vaccino evita che si formino degli infetti, stringendo il rubinetto 1 e diminuendo il flusso degli infetti; i farmaci invece aprono di più il rubinetto 2 aumentando il flusso dei guariti, o “tasso di guarigione”, che qui indichiamo con k2. Ovviamente i guariti sono proporzionali al numero degli infetti: se gli infetti sono pochi, lo sono anche i guariti e viceversa (come indicato dalle freccette blu che entrano nel rubinetto 2 in figura 1).

Il caso del Covid: cosa succede se non ci sono cure disponibili

Arriviamo ora al caso in cui, come per il Covid-19, la cura non sia ancora stata individuata, o lo sia solo in parte o, comunque, per guarire si necessita di un ricovero ospedaliero che non è disponibile per tante persone nello stesso momento. Il fatto che non ci sia un vaccino o una cura già sperimentata, ma che la malattia possa essere curata solo con “mezzi speciali limitati” fa sì che le persone che possono essere guarite in un certo tempo diminuiscono: insomma, non possiamo ammalarci tutti insieme perché il rubinetto 2, ovvero il rubinetto di uscita degli infetti o di entrata nella vasca dei guariti, si stringe parecchio; il tasso di guarigione è regolato dalla capacità dei mezzi speciali (rianimazioni, disponibilità di ossigeno ecc).
A titolo di esempio qualitativo, proviamo a esaminare come variano i livelli delle popolazioni delle tre vasche in un tempo di 52 settimane partendo da un campione di 1000 persone, considerando dei tassi k1 e k2 arbitrari (qualitativi, non rispondenti a nessun valore della realtà). Sia k1 = 0,001, che corrisponde a un tasso di contagio dell’1 per mille: ad esempio se all’inizio dell’infezione abbiamo 999 sani e 1 contagiato, la certezza è che in una settimana questo infetta almeno un’altra persona. Alla seconda settimana abbiamo una popolazione di 998 sani e 2 infetti; con il tasso di contagio dell’1 per mille si infettano mediamente altre 2 persone, quindi si hanno 996 sani e 4 infetti nella settimana successiva e così via.
All’inizio la crescita può sembrare esponenziale ma non è così, perché c’è da tener presente il tasso di guarigione: dopo un certo tempo, i malati cominciano a guarire, diciamo con k2 = 0,1, che sta a indicare che ogni settimana guarisce circa il 10% della popolazione degli infetti.
Sulla base di questi dati qualitativi, la figura 2 mostra la variazione del numero degli infetti e dei guariti nelle 52 settimane: potete riconoscere benissimo gli andamenti delle curve rossa a campana (contagiati) e verde (guariti), che sono molto simili nella forma a quelli che vediamo sul sito del Ministero della Salute nel caso del Covid-19.

Nel grafico compare anche una curva nera, che rappresenta la popolazione dei sani che decresce. Nei canali istituzionali questa non ci viene mostrata perché al momento il numero dei sani è enormemente più grande, circa 60 milioni di persone, degli infetti e dei guariti/morti per Covid-19. Da qui in avanti quindi non la rappresenteremo più.
Se la situazione cambia da un contagio gestibile, in cui gli infetti grazie ai mezzi speciali possono essere tutti guariti, a una in cui i mezzi speciali vanno in tilt (k2 si riduce da 0,1 a 0,05), il rubinetto 2 si stringe e si riescono a guarire meno persone. Di conseguenza, più infetti rimangono in circolazione e il livello della vasca degli infetti si rialza (Figura 3), amplificando la capacità di contagio (e di morte). Insomma la velocità di contagio cresce non solo per via dell’intrinseca capacità di infettare del virus (che rimane la stessa k1 = 0,0001), ma anche a causa della diminuzione della disponibilità di cura (k2 diventa più piccolo).

Perché il distanziamento è fondamentale

Diventa quindi importantissimo, non potendo eliminare il virus con misure immediate e scampare al contagio, “non ammalarci tutti insieme”. Il fatto è che tutti potremmo transitare dalla malattia e guarire anche nel caso in cui i mezzi di cura siano limitati: bisogna però aggrapparsi all’unico strumento che ci rimane, rimanendo separati il più possibile. Questo fa diminuire il valore di k1, che come abbiamo detto dipende anche dal fatto di interagire in maniera ravvicinata gli uni con gli altri. Purtroppo il virus si diffonde con noi, è inevitabile che stare “separati” aiuti il rallentamento della sua diffusione.
Diminuendo l’indice k1 da 0,001 a 0,0005 (0,5 per mille), a parità di k2 (che rimane 0,1), ovvero a parità di capacità di guarigione, il numero degli infetti al giorno diminuisce. Il contagio viene rallentato, il numero di infetti rimane limitato e diluito nel tempo: la figura 4 mostra chiaramente che alla settimana 12, nella prima simulazione gli infetti sono circa 700 (k1 è 1 per mille), mentre nella terza simulazione non sono ancora 100 (k1 vale 0,5 per mille)! Ecco dimostrato cosa significa “appiattire la curva dei contagi” e perché è così importante farlo.

E quindi?

Il modello SIR mette in luce che, finché ci sarà in circolazione un minimo di virus e ci sarà nella popolazione ancora qualcuno che può contrarlo, l’epidemia andrà avanti: non ci deve quindi stupire il fatto che il virus tenda a risalire, nelle cosiddette ondate, quando il distanziamento si riduce.
In Italia, come dicevamo, siamo circa 60 milioni di persone, e attualmente “solo” circa 1 milione di persone è stato interessato dallo screening (tamponi) e dalle cure disponibili per il Covid-19. Per fortuna sappiamo anche che molti soggetti sono asintomatici e non sempre il virus manifesta conseguenze gravissime da giustificare la cura con mezzi speciali per 60 milioni di persone, che sarebbe una vera catastrofe. Ma dobbiamo essere coscienti che, in attesa degli sviluppi di rimedi farmacologici in termini di cure e vaccini, perché la situazione possa normalizzarsi definitivamente dovremmo, in teoria, contrarre “tutti” la malattia molto molto lentamente, per dare la possibilità a chi la contrae e sviluppa conseguenze gravi di poter essere curato con i mezzi speciali, che purtroppo sono veramente limitati in quantità.