Sapere Scienza

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Esami di Maturità 2020: l’alfabeto per un possibile elaborato di matematica

29 Maggio 2020 di 

Sabato 16 maggio 2020 sono state emanate le linee guida sulla Maturità di questo strano anno scolastico. La grande novità è l'elaborato concernente le discipline di indirizzo il cui argomento verrà assegnato a ciascun candidato entro il 1°giugno e consegnato dallo studente entro il 13 giugno.

Per il liceo scientifico si tratta di un elaborato di matematica e fisica. Parlare di matematica e fisica non è la stessa cosa che risolvere problemi di queste discipline o schematizzare situazioni reali in grafici e grafi. Così come leggere e scrivere sono due attività connesse tra loro ma che il bambino impara in tempi diversi, risolvere quesiti di matematica e descrivere la matematica richiede un diverso allenamento. La matematica e la fisica si leggono e si interpretano, quasi come un copione teatrale. Se l'attore studia la voce e la postura, chi spiega teoremi, equazioni, modelli deve saper esprimere ogni passaggio per risalire al concetto chiave che questi teoremi, equazioni e modelli contengono. Solo così chi ascolta comprende.
La difficoltà di raccontare concetti di hard science o anche solo descrivere un grafico si è sperimentata in questi ultimi tristi mesi quando ogni sera giornalisti, scienziati e opinionisti davano interpretazioni anche diverse davanti ai numeri del contagio e tante volte il pubblico, a cui erano ignote le parole matematiche non comprendeva il perché delle scelte dedotte da quei valori. In questo articolo riprendiamo proprio questa recente esperienza. Sperando di fare un regalo ai maturandi, almeno un augurio di buono studio, diamo delle parole per la lettura dei grafici epidemiologici. Non sarà forse questo l'elaborato assegnato, ma creare un dizionario delle parole usate nel proprio elaborato è il nostro consiglio. Insieme suggeriamo ai docenti, per i prossimi anni un laboratorio di comunicazione scientifica che consista in una lista alfabetica. Avvertiamo il lettore che alcuni concetti sono volutamente scritti in modo troppo semplice, perché l'esercizio è quello di raccontarli.
Nell'elaborato finale invece lo studente accompagnerà le parole con formule e grafici che preciseranno i concetti. In ogni caso è necessario avere in mente una versione semplice (e corretta) di quello che si vuole esporre per poi passare a una versione finale complessa (e corretta).

 

L'alfabeto grafico dell'epidemiologia

 

A come Assi cartesiani
Un grafico si disegna nel piano descritto da due coordinate: si riconoscono cioè due assi, detti delle ascisse (asse orizzontale) e delle ordinate. Un po' come giocando a battaglia navale, ogni punto del grafico si individua con una coppia: ascissa e ordinata. Nei fenomeni di evoluzione, come l'analisi di una popolazione contagiata, si prende solo il primo quadrante di un piano cartesiano. Sulle ascisse si pone il tempo mettendo lo "start" nell'origine degli assi, cioè nel punto dove questi si incontrano. Sulle ordinate si possono invece porre i dati acquisiti sul numero di contagiati, di deceduti, di guariti, ecc. I valori sulle ascisse vanno in ordine dallo zero verso destra, i valori sulle ordinate crescono dal basso verso l'alto. La prima domanda che ci facciamo davanti a un grafico è: cosa sta descrivendo? Cosa c'è sulle ascisse? Cosa sulle ordinate?

B come Biomatematica
Non c'è niente di più complesso dei meccanismi delle scienze della vita, non c'è nulla di più particolareggiato che la descrizione degli esseri viventi. Al contrario, il linguaggio matematico è semplice e sintetico. Mettere insieme questi due mondi non significa solo raggruppare la complessità e poterla descrivere. La biomatematica è qualcosa in più: l'applicazione dei metodi di analisi dati dalla matematica per descrivere mediante equazioni i fenomeni biologici, le loro interazioni, il loro sviluppo. Se il più noto progenitore di questi modelli è la serie di Fibonacci applicata al problema di riproduzione di coppie di conigli, la vera formulazione della biomatematica arriva con Vito Volterra nel 1927: studiando la coabitazione di due specie marine, stabilisce cosa si intende per modello della dinamica delle popolazioni favorendo la nascita dell'ecologia.

C come Crescita
Una curva si dice crescente se, osservando la posizione dei suoi punti seguendo le ascisse da sinistra a destra, le corrispondenti ordinate aumentano, la curva sembra "salire".
Viceversa una curva è decrescente se, seguendo le ascisse da sinistra a destra, le ordinate diminuiscono, la curva sembra "abbassarsi".

D come Dati
Volendo studiare un fenomeno chiunque partirà dall'osservazione del fenomeno. Questa osservazione si traduce nel rilevamento di quantità che si chiamano dati sperimentali. Quando dai dati si costruisce un modello, si è interessati all'evoluzione del fenomeno nel tempo, facendo partire il cronometro del modello all'istante in cui si sono presi i dati. Nei modelli deterministici si cercano equazioni che descrivono l'evoluzione del fenomeno in ogni istante futuro.
Bisogna capire anche quanto il modello dipenda dai dati osservati. Alcune volte è necessario dividere i dati in insiemi più specifici. Ad esempio per la demografia si raggruppano i dati relativi agli individui per età o sesso o provenienza geografica. Una possibilità più complicata, ma più efficace, consiste nel trattare modelli stocastici, che tengono conto della variabilità dei dati e forniscono indicazioni "probabili" dell'evoluzione del fenomeno.

E come Esponenziali
Immaginiamo di essere sfidati a moltiplicare il numero 2 per se stesso 2, 3, 4, 5... volte: otterremo 4, 8, 16, 32... Ponendo su un grafico le coppie di questi valori – (2, 4), (3, 8), (4, 16), (5, 32)... – si intravede una curva che congiunge questi punti crescendo. Aggiungiamo anche il punto (0, 1). Non è difficile poi immaginare le radici di questi numeri e porre, ad esempio, il punto di coordinate (1/2, √2) sullo stesso grafico. Riprendendo a elevare, avremo le coppie (3/2, √8), (5/2, √32)... che si trovano proprio su questo immaginario percorso liscio e crescente che univa i primi punti che abbiamo tracciato. Possiamo rifare lo stesso gioco con (1/3, radice-cubica di 2). Avremo ancora più informazioni per questa curva che chiameremo esponenziale in base 2. Se invece di 2 si usa un altro numero abbiamo l'esponenziale di base tale numero. Per base maggiore di 1, l'esponenziale ha una crescita molto rapida. Più la sua base è grande, più rapida è questa crescita. Per base minore di 1 l'esponenziale invece decresce. Nei modelli epidemiologici, all'inizio la crescita è esponenziale con base maggiore di 1.

F come Flesso
Una curva ha un punto di flesso se in quel punto le curva passa da concava a convessa o viceversa. Una curva è concava in un suo arco se il segmento che unisce due qualunque dei suoi punti si trova sotto la curva. Una curva è convessa in un suo arco se il segmento che unisce due qualunque dei suoi punti si trova sopra la curva. Congiungendo con un segmento un punto a destra del flesso con uno a sinistra, il tratto resta un po' sopra, un po' sotto la curva.

G come gaussiane
Le curve gaussiane hanno la forma di una campana ed esprimono, tra le altre cose, una densità di probabilità. Durante un'epidemia con asintomatici incontrarsi significa giocare d'azzardo: testa o croce diventano contagio o non contagio? In un grafico che abbia sulle ordinate il numero di contagi giornalieri, questi crescono quando i giocatori sono molti e poi decrescono quando il gioco viene abbandonato. Ci sono gaussiane strette e alte e gaussiane basse e larghe. In questo secondo caso si avrà un'epidemia che dura più a lungo ma con meno casi giornalieri, più gestibili dal sistema sanitario (si veda figura 1 alla fine dell'articolo).

H come Hypothesis
La realtà è molto complessa, e quando si studia un fenomeno non si vuole conoscerlo in tutti i dettagli ma si vuole creare un modello significativo, che sia affidabile ma anche semplice da gestire (poche equazioni ad esempio) e generale (cioè che si applichi a più fenomeni). Per fare questo è necessario trascurare degli elementi partendo da alcune ipotesi che semplificano la complessità iniziale. Sembrerà quasi di scattare una foto: il modello mostrerà alcuni fenomeni più a fuoco di altri in base alle ipotesi che si scelgono.

I come Inclinazione della retta tangente
Quando si ha un grafico costituito da una curva senza punte e spigoli, si può immaginare di fare surf sulla curva! La tavola da surf è un segmento della cosiddetta retta tangente (locale), la cui inclinazione dà informazioni sulla crescita o decrescita della curva. Lo strumento per calcolare l'inclinazione della retta tangente punto per punto è la derivata prima. In particolare, se si considerano due esponenziali (ad esempio, la curva dei contagiati totali iniziali in due Paesi diversi) e si confrontano le inclinazioni delle rispettive rette tangenti, si comprende subito se una curva supererà l'altra. È lo stesso fenomeno di una gara automobilistica: anche se un'auto molto veloce parte più tardi di una più lenta è comunque destinata a superarla.

L come Logistica
Il modello logistico è una correzione del modello esponenziale che tiene conto del fatto che i nuovi contagi si riducono perché la popolazione da contagiare si riduce. Il grafico dei contagiati totali somiglia a una curva logistica: leggendo da sinistra a destra il grafico, si vede che all'inizio si ha un andamento esponenziale della curva, dopo un flesso si va verso un asintoto orizzontale. La curva resta sotto l'asintoto, non lo supera: è un altopiano detto plateau. Disegnare una curva logistica è come disegnare una "S" appiattita nella parte superiore. Si può arrivare all'asintoto molto rapidamente oppure più lentamente come accade per la curva di Gompertz.

M come Mortalità
In un modello epidemiologico, la mortalità è il rapporto percentuale tra il numero di morti per una malattia e tutta la popolazione considerata, in un periodo di tempo fissato. Questo valore va distinto dalla letalità, che indica invece il rapporto tra il numero di decessi sul totale dei soggetti contagiati. Ovviamente, essendo la popolazione maggiore del numero dei contagiati, il valore della letalità è ben più grande del valore della mortalità.

N come Numerosità
Nei modelli della dinamica delle popolazioni si cerca di prevedere come evolve il numero di individui di un certo insieme. Definire la popolazione che si vuole studiare è un primo fondamentale passo qualitativo. Se questo insieme è molto grande se ne considera un sottoinsieme significativo detto campione. La numerosità della popolazione e la numerosità del campione sono i primi valori da determinare per passare a un aspetto quantitativo. In molti contesti, la numerosità della popolazione cambia al passare del tempo e sono necessarie equazioni per descrivere le variazioni di numerosità.

O come Orizzontale (Asintoto)
L'asintoto è una retta parallela a quella delle ascisse a cui si avvicinano alcuni tipi di curve quando si considerano ascisse molto grandi.

P come Picco
Quando sulle ascisse si pongono i giorni e sulle ordinate il numero di nuovi contagi, dopo aver intrapreso azioni di contenimento, il numero di contagi giornalieri inizia a decrescere. La curva che si presenta ha la forma di una campana detta gaussiana e il suo valore più alto è il picco. Possono esserci più giorni in cui si raggiunge quel valore. Se poi cambiano le condizioni, l'andamento della campana viene distrutto e la curva può iniziare a crescere nuovamente cercando un altro picco, sfortunatamente più alto. I matematici preferiscono la parola massimo e per l'ascissa in cui viene raggiunto tale valore si usa l'espressione "punto di massimo".

Q come Q-Test
Il Test Q (o Q-Test in inglese) è un test statistico utilizzato per decidere se scartare alcuni dati da un campione. La statistica studia i fenomeni collettivi e quindi bene si intreccia con la biomatematica, la dinamica delle popolazioni e in particolare l'epidemiologia. Usata fin dal periodo romano per censire la popolazione dell'impero, oggi è uno strumento potente interessato soprattutto alle variazioni dei fenomeni. In un grafico che riassume un'indagine statistica sulle ordinate compare la frequenza e sulle ascisse la modalità. Lo sforzo è ridurre a valori singoli i tanti dati raccolti. Ad esempio, la mediana è il valore che divide la distribuzione in due parti di eguale ampiezza. La moda è la modalità (cioè l'ascissa) della frequenza che compare più volte. L'altro concetto cruciale per riassumere i grafici è la media. Bisogna però fare attenzione perché vi sono diversi tipi di media, non solo quella aritmetica. Nel rilevamento dei dati ci potrebbero essere errori. Il Q-test aiuta a cercare un dato errato.

R come Rimossi
La R è l'ultima lettera dell'acronimo SIR che è un modello epidemiologico in cui una popolazione viene raggruppata in tre insiemi: i Suscettibili (S), cioè quelli che potrebbero essere contagiati; gli Infetti (I), in grado di trasmettere il contagio; i Recovered (R), cioè i rimossi, perché guariti o deceduti. Il modello si basa su equazioni diverse a seconda che i guariti possano o meno essere contagiati di nuovo. Le tre equazioni che descrivono la variazione di individui di tipo SIR formano un sistema lineare in cui compaiono parametri che cambiano da malattia a malattia. In particolare, l'aumento degli infetti nel futuro dipende sia dal numero di infetti del presente, sia dal valore degli individui contagiabili. Il modello si può complicare inserendo informazioni sulle nascite, sulle morti, sulle vaccinazioni, ecc. (si veda figura 2 alla fine dell'articolo)

S come Scala logaritmica
Le curve esponenziali con base maggiore di 1 raggiungono presto valori molto alti sulle ordinate. Per evitare grafici con ordinate in scala troppo diversa dalle ascisse, si utilizza una scala logaritmica che ha la proprietà di trasformare le curve esponenziali in rette. Se in un grafico ci sono varie curve di contagio, ad esempio relative a vari Paesi, in scala logaritmica ci basta confrontare la pendenza di queste rette per capire se la situazione in un Paese è migliore o peggiore rispetto a un altro.

T come Tasso
Apparentemente la parola tasso è sinonimo di "rapporto tra due quantità" preferibilmente espresso con una percentuale. Quando le quantità variano è fondamentale fissare anche il periodo di tempo in cui si rileva quel rapporto e osservarne la variazione. Ad esempio, il tasso di natalità è rapporto tra il numero dei nati e la popolazione in un periodo fissato. Nella dinamica delle popolazioni si osserva ovviamente anche il tasso di mortalità di una specie. In epidemiologia si procede diversamente: quello comunemente chiamato tasso di contagiosità e indicato con R0 (anche se lo zero andrebbe scritto in basso) è il "numero di riproduzione di base", cioè il numero medio di infezioni secondarie causate da ciascun individuo infetto in una popolazione che non sia mai venuta in contatto con un determinato patogeno. Quando R0 è inferiore a 1 il contagio decresce, altrimenti cresce in modo esponenziale. Al trascorrere del tempo e delle condizioni (ad esempio grazie a misure di contenimento), il tasso di contagio cambia e viene indicato con Rt.

U come Uno
L'elemento neutro della moltiplicazione (moltiplicandolo per ogni numero restituisce il numero stesso) è diventato il numero della certezza ma anche quello della paura. Uno è infatti la massima probabilità e indica un evento certo. Uno è poi lo spartiacque tra la base delle esponenziali crescenti e la base delle esponenziali decrescenti. Nei modelli epidemiologici, la situazione si capovolge per tasso di contagiosità che superi uno o che sia inferiore a questo valore.

V come Verhulst vs Malthus
La dinamica delle popolazioni inizia con un modello di crescita esponenziale proposto da Malthus nel 1798. Si studia la riproduzione di una popolazione isolata dotata di infinito cibo e spazio. Cinquant'anni dopo Verhulst corresse questo modello, ipotizzando che il cibo e lo spazio siano finiti. Quando la popolazione cresce oltre una certa soglia si ha competizione per le risorse, così il tasso di crescita diminuisce e la popolazione non supera un valore di soglia. Il grafico che descrive il fenomeno è appunto la curva logistica.

Z come Zero
I sistemi fisici si studiano "isolati". Il valore matematico che traduce l'isolamento è questo numero introdotto dall'algebra araba dopo aver sonnecchiato per secoli tra India e Grecia.
La parola zero viene da vuoto ma è anche assonante a zefiro, il vento latino. Ogni volta che si isola il sistema si tende ad azzerare delle variazioni. Ad esempio, nel modello SIR si assume che la numerosità sia costante, cioè abbia variazione nulla. Questo non è mai possibile nella realtà. Non sarà possibile nemmeno ridurre a zero i fenomeni epidemiologici, quindi dovremo sostituire l'espressione "uguale a zero" con un po' di vento, un "circa zero", o spingere il virus come un aquilone a "tendere a zero".

 

 

 

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Sandra Lucente

Sandra Lucente insegna Analisi Matematica presso l’Università degli Studi di Bari. Si occupa di PDE non lineari iperboliche. Scrive libri, articoli di quotidiani e riviste, soprattutto su turismo matematico e matematica e letteratura. Tiene conferenze divulgative, ma anche laboratori di formazione per docenti e seminari di comunicazione della scienza.

copertina sapere 5 2020   settembre-ottobre 2020

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