È ben noto che la famosa tabellina pitagorica continua a tormentare bambini e bambine e non solo in Italia. Non è raro ascoltare nelle nostre scuole primarie o secondarie : “Maledetto Pitagora che le ha inventate!”. Il povero Pitagora non c’entra con le tabelline, ma nella cultura popolare infantile Pitagora è l’autore di buona parte della matematica.
La difficoltà di memorizzazione della tavola della moltiplicazione è riscontrabile in diversi Paesi e in diverse epoche a giudicare dal numero di giocattoli inventati per aiutare gli scolari.
È ben noto che la famosa tabellina pitagorica continua a tormentare bambini e bambine e non solo in Italia. Non è raro ascoltare nelle nostre scuole primarie o secondarie : “Maledetto Pitagora che le ha inventate!”. Il povero Pitagora non c’entra con le tabelline, ma nella cultura popolare infantile Pitagora è l’autore di buona parte della matematica.
La difficoltà di memorizzazione della tavola della moltiplicazione è riscontrabile in diversi Paesi e in diverse epoche a giudicare dal numero di giocattoli inventati per aiutare gli scolari.
Giocattoli per calcolare il prodotto di due numeri da 1 a 9 in uso in vari Paesi: Bulgaria, U.S.A., Germania.
La tabella della moltiplicazione più conosciuta perché disegnata sull’ultima pagina dei quaderni a quadretti è questa riportata in figura ed è stata pubblicata da Luca Pacioli verso la fine del 1400 nel trattato Summa De Arithmetica:
In verità la tabella è stata pubblicata in Italia nel 1202 da Leonardo Pisano, meglio conosciuto come Fibonacci, e aveva l’aspetto di quella stampata su una pagina del trattato L’arte de labbacho, di autore ignoto, pubblicato a Treviso nel 1478:
Nella prima riga 2 fia 2 fa 4 equivale al nostro 2 x 2 = 4 e così via. Si tratta di mezza tabellina perché la moltiplicazione è commutativa: se 3 x 8 = 24 è inutile memorizzare anche che 8 x 3 = 24. Presentata così forse sarebbe meno indigesta ai bambini!
Moltiplicare gesticolando con le mani
Una soluzione alla memorizzazione della tavola della moltiplicazione può venire dalla rappresentazione dei numeri con le dita, ma le tabelline dall’uno al cinque bisogna conoscerle e si deve saper moltiplicare per 10. In Italia, ai giorni nostri, per rappresentare il numero 1 si distende il pollice, il 3 è dato dal pollice, indice e medio distesi su una mano. Per il 7 occorre aprire tutta una mano e distendere il pollice e l’indice sull’altra. Se vogliamo moltiplicare due numeri compresi da 6 a 9 dovremmo rappresentare i due fattori su quattro mani e questo ci obbligherebbe a trovarci un/a partner ogni volta che avremmo bisogno di determinare un prodotto. Per evitare il ricorso a quattro mani facciamo una semplificazione: i numeri da 6 a 9 li rappresentiamo aprendo solo 1, 2, 3, 4 dita su una mano. Ad esempio, per rappresentare il 6 lasciamo solo la mano sinistra con il pollice disteso e le altre quattro dita piegate. Per raffigurare 8 distendiamo tre dita sulla mano destra e pieghiamo le altre due dita come nel disegno.
A questo punto, per ottenere il prodotto 6 x 8, sommiamo le dita distese 3 + 1 = 4, che bisogna moltiplicare per 10, ottenendo 40. A questo si deve aggiungere il prodotto dei numeri di dita piegate 4 x 2 = 8. Il prodotto cercato è proprio 40 + 8 = 48.
Altro esempio: troviamo il prodotto 7 x 9. Con la convenzione che abbiamo condiviso, i due numeri li rappresentiamo con due dita distese sulla mano sinistra e quattro sulla destra, come in questo disegno.
Si deve sommare i numeri di dita distese 4 + 2 che fa 6 e moltiplicarlo per 10. A 60 si deve aggiungere il prodotto 3 x 1 dei numeri di dita piegate: 60 + 3 = 63 che è proprio 7 x 9.
Ancora un esempio: un dito disteso sulla mano sinistra e uno sulla mano destra rappresentano la moltiplicazione 6 x 6.
Si somma 1 + 1 che fa 2, si moltiplica per 10 e fa 20. A 20 si deve sommare il prodotto dei numeri di dita piegate 4 x 4 che fa 16 e 20 + 16 è proprio 36 .
Attenzione, non si tratta di un trucco o di una magia come se ne trovano tante in rete. Tutto questo ha una sua giustificazione molto semplice che necessita di un po’ di matematichese:
Siano a, b due numeri interi compresi tra 6 e 9.
Le dita distese sono a – 5 su una mano e b – 5 sull’altra. Le dita piegate sono 5 – (a – 5) = 10 – a su una mano e 5 – (b – 5) = 10 – b sull’altra.
La moltiplicazione con le dita dei due numeri a, b consiste nel sommare il prodotto per 10 del numero totale di dita distese con il prodotto del numero di dita piegate. Infatti:
10[(a – 5) + (b – 5)] + (10 – a) (10 – b) = 10a – 50 + 10b – 50 + 100 – 10b – 10a + ab = ab.
Le origini di questo metodo di calcolo si perdono nella notte dei tempi perché appartiene alla cultura orale e si è tramandato di padre in figlio. Qualcuno la chiama moltiplicazione tibetana, il che fa pensare ad un’origine orientale. Da qualche altra parte ho letto che si chiama moltiplicazione del pastore. Una conferma di questo appellativo l’ho avuta diversi anni fa da un mio alunno il quale mi riferì che l’aveva imparata da un pastore della Maiella. Forse i pastori di una volta la conoscevano e se la tramandavano oralmente, come pure c’erano pastori che conoscevano a memoria interi canti della Divina Commedia.
Moltiplicare oltre il 10
La semplice giustificazione algebrica della moltiplicazione con le dita fa intravedere la possibilità che si possa andare oltre a moltiplicare con le dita due numeri interi c, d compresi tra 11 e 14 e poi tra 16 e 19 e così via.
Volendo moltiplicare 12 x 13 si procede così:
a. Si distendono sulla mano sinistra due dita (tante quante sono le unità supplementari in 12 rispetto a 10, cioè 12 – 10 = 2 dita) e restano piegate le altre tre dita;
b. si distendono sulla mano destra tre dita (13 – 10 = 3) per rappresentare il 13. Le altre due dita restano piegate;
12 x 13
c. si moltiplica per 10 il numero complessivo delle dita distese: (3 + 2) x 10 = 50;
d. si moltiplicano i numeri di dita distese: 2 x 3 = 6;
e. il prodotto 13 x 12 si ottiene sommando 100 ai due numeri ottenuti:
13 x 12 = 50 + 6 + 100 = 156.
Anche in questo caso la giustificazione algebrica è semplice.
Siano c, d due numeri interi compresi tra 11 e 15. Le dita distese sono (c – 10) su una mano e (d – 10) sull’altra.
Il prodotto cd si calcola sommando 100 al numero ottenuto moltiplicando per 10 il numero complessivo di dita distese e al prodotto dei numeri di dita distese.
Infatti:
10[(c – 10) + (d – 10)] + (c – 10) (d – 10) + 100 = 10c – 100 + 10d – 100 + cd – 10c – 10d + 100 + 100 = cd.
Allo stesso modo si ottiene il prodotto di due numeri x, y compresi tra 16 e 20 con la formula:
15[(x-15)+(y-15)]+(x-15)(y-15)+225=xy
o di due numeri m, n compresi tra 21 e 25 con la formula:
20[(m-20)+(n-20)]+(m-20)(n-20)+400=mn
e così via.
L’unica richiesta aggiuntiva è la conoscenza dei numeri quadrati 152 = 225, 202 = 400, 252 = 625 ecc.
Per gli scolari la parte più interessante è sicuramente la prima riguardante le tabelline del 6, del 7, dell’8 e del 9, l’estensione della moltiplicazione con le dita a fattori più grandi di dieci è pane per i curiosi.
